主题：立体几何与函数的困惑
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午山 发表于 2024-05-07 21:12
捞一道简单的题目来做，目测还是星期三
只需要关注除7的余数
6^7-1 = (7-1)^7 - 1 = (7^7 + a1 * 7^6 + a2 * 7^5 + a3 * 7*4 ... + a6 * 7 ... + 1) - 1
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yxiao_9015 发表于 2024-05-06 14:52这种题目无非就解 f(x) - f(x0) = f'(x) * (x - x0) 的方程，感觉别无它途。
f(x) 和 f'(x) 中的 e^x 因子大约可以抵消；然后再用一堆代数计算技巧，对称性（奇偶性）、周期性等等抵消掉那些对称的或相邻的项……
...
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好的，我再接着去计算起来。非常感谢您的指点！
最近常遇到这种 “6*7” 之类的较大数值然后除以某个数之后余数是多少的题，不知道是否暗含某种 “逻辑”？
虽然硬算也可以求解，但是却很费时间，对于这种题型，不知有没有什么更方便的方法或技巧呢？ 还麻烦请您指点一下。 谢谢！
午山 编辑于 2024-05-07 21:25
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午山 发表于 2024-05-04 20:52好的，按照您的提示我再去计算一下。 非常感谢您的解答！
还有一道涉及 “复合函数累加” 的小题。
感觉一旦 “切线与函数图像的交点” 被拉长就没有什么思路了， 还麻烦请您指点一下遇到这类累加情况时我应该先怎么办呢？ 谢谢！
f(x) 和 f'(x) 中的 e^x 因子大约可以抵消；然后再用一堆代数计算技巧，对称性（奇偶性）、周期性等等抵消掉那些对称的或相邻的项……
总之硬着头皮算到底，无他，错了就是方法没找对，换个思路再算……
yxiao_9015 编辑于 2024-05-06 15:47
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yxiao_9015 发表于 2024-05-04 00:07参考 306 楼。
注意 f(-2x - 1) = f(2x - 1) ==> -2g(-2x - 1) = 2g(2x - 1) ==> g(-1) = 0
不难证明 g(1) = -g(-1) = 0；即 g(1) = f'(1)...
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好的，按照您的提示我再去计算一下。 非常感谢您的解答！
还有一道涉及 “复合函数累加” 的小题。
感觉一旦 “切线与函数图像的交点” 被拉长就没有什么思路了， 还麻烦请您指点一下遇到这类累加情况时我应该先怎么办呢？ 谢谢！
午山 编辑于 2024-05-04 21:01
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午山 发表于 2024-05-03 21:12好的，按照您的提示我再去计算起来。 非常感谢您的解答！
在这道 “周期性函数” 的小题中，我最大的问题就是这个不定函数 “mx*3-2x” 的移动。
像将此函数从 x∈[1,2] 移到 [0,1]， 它是变成 f（x-2),f(x) 或是 -f(x)...
参考 306 楼。
注意 f(-2x - 1) = f(2x - 1) ==> -2g(-2x - 1) = 2g(2x - 1) ==> g(-1) = 0
不难证明 g(1) = -g(-1) = 0；即 g(1) = f'(1) = 3m - 2 = 0 ==> m = 2/3。
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yxiao_9015 发表于 2024-05-03 08:55为叙述方便，反其道而行之。
如图：设正三角形 ABC 边长为 1，原题还原为什么条件下三角形 DEF 面积最小，即三角形 AEF、BDF、CDE 面积之和最大。
设 AF = x，则由于三角形 AEF 与 BDF 相似，则各段边长可算出如图所标。
在...
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好的，按照您的提示我再去计算起来。 非常感谢您的解答！
在这道 “周期性函数” 的小题中，我最大的问题就是这个不定函数 “mx*3-2x” 的移动。
像将此函数从 x∈[1,2] 移到 [0,1]， 它是变成 f（x-2),f(x) 或是 -f(x)？ 还麻烦请您给我讲解一下与这道题相关的知识点。 谢谢！
午山 编辑于 2024-05-03 21:23
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493 帖
为叙述方便，反其道而行之。
如图：设正三角形 ABC 边长为 1，原题还原为什么条件下三角形 DEF 面积最小，即三角形 AEF、BDF、CDE 面积之和最大。
设 AF = x，则由于三角形 AEF 与 BDF 相似，则各段边长可算出如图所标。
在用公式 S = 1/2 * a * b * sinC，分别计算 AEF、BDF、CDE 面积（均用 60° 角及量两邻边），则问题转化为一二次多项式求最大的问题。
具体我就不算了，答案之前用排除法已经得出只能为 A：用 DEF 斜边平行于 ABC 一边的特例可以排除 C 和 D，再用 DEF 外接圆半径和 ABC 内
切圆半径相比较可以排除 B。
如图：设正三角形 ABC 边长为 1，原题还原为什么条件下三角形 DEF 面积最小，即三角形 AEF、BDF、CDE 面积之和最大。
设 AF = x，则由于三角形 AEF 与 BDF 相似，则各段边长可算出如图所标。
在用公式 S = 1/2 * a * b * sinC，分别计算 AEF、BDF、CDE 面积（均用 60° 角及量两邻边），则问题转化为一二次多项式求最大的问题。
具体我就不算了，答案之前用排除法已经得出只能为 A：用 DEF 斜边平行于 ABC 一边的特例可以排除 C 和 D，再用 DEF 外接圆半径和 ABC 内
切圆半径相比较可以排除 B。
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yxiao_9015 发表于 2024-04-30 09:15|OC|^2 <= (|OM| + |MC|)^2……………………………………等号当 M 在线段 OC 上时成立
= |OM|^2 + |MC|^2 + 2*|OM|*|MC|
<= 2...
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按照您的提示，计算过后正确。 非常感谢您的指点！
这一道同样是内含三角形的平面几何问题。
之前的 “三个圆” 好歹还可以猜测在 “正三角形” 时取到最大值，但在这题却连猜测的思路都没有了......
不知道在这样的情况下有没有什么可以指导解题的方法呢？ 还麻烦请您给我指点一下迷津。 谢谢！
午山 编辑于 2024-05-02 21:09
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yxiao_9015 发表于 2024-04-29 07:08这是一个很有实用价值的一般结论：
如果将 Ln(a, b) 称作正数 a、b 的 n 阶平均值（或者称作 （2n - 1）阶平均值），我们则有
高阶平均值不小于低阶平均值的结论永远成立。
这么多年忘了，大家约定俗成的概念貌似是把这里定义的 Ln(a,...
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好的， 非常感谢您分享宝贵的解题经验！
这是一道平面几何与函数的小题。
这里应是要证明 “存在 M，使得 sqrt(|CM|)+sqrt(|OM|）=3 成立”。
但我又该如何去表达一个不定圆中的任意一点且不使代数运算变得繁琐呢？
又或者我从几何分析上该如何去获得启发呢？ 还麻烦请您给我点拨一下。 谢谢！
午山 编辑于 2024-04-29 22:10
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yxiao_9015 发表于 2024-04-27 12:58不是 f'(x) 有零点，而是 f(x) 有零点。
分 a = 0, a > 0, a < 0 三种情况讨论：
1、当 a = 0 时，函数第一项是常量，第二项是双曲线向下的一支，定义域是全实数域（b>0），
所以 f(x...
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好的，按照您的提示我再去计算一次。 非常感谢您的解答！
还有一道指数函数的选择题。
在 A 选项中，我试图用 L（a,b）函数变化的单调性来判断大小。
但是考虑到当 a 或 b 属于（0,1）或（1，+∞) 时单调性是不同的，所以在 a 或 b 取不同值域时， L（a,b) 可以得到不同的单调性？
我对此感到迷惑， 还麻烦请您指点一下我的这个想法问题出在哪里了？ 谢谢！
午山 编辑于 2024-04-28 21:05
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yxiao_9015 发表于 2024-04-25 10:03求导也行，就是稍稍复杂一些。如果计算结果不错，x0 = 1/3 应该舍弃。因为 P(X0, y0) 系双曲线上第一象限的点，故 x0 >=1。余下与楼上同。
“根据这两个零点画出来的图像是一个两边趋向于负无穷和正无穷的图像”之语，没看明白。
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是的，在一次导中，x=3 或 1/3 是一次导的两个零点，当 x 趋向于 0 时，函数趋向于负无穷，但是由于 x>=1，那就只剩下 x=3 这一最小值了。 非常感谢您的解答！
这里还有一道函数小题。
让我迷惑的是，我根据这个题目条件得出来的 a*a 与 b*b 的关系是一个不等式。
不知这个不等式和题中所要求的 “a*a+b*b的最小值” 之间有什么关联呢？ 百思不得其解，还麻烦请您给指点一下。 谢谢！
午山 编辑于 2024-04-26 22:26
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午山 发表于 2024-04-24 21:26明白了，是我思考错误了。 非常感谢您的解答！
还有一道解析几何与三角函数复合的小题。
在这道题中，我已求出 tanα 与 tanβ 之积为定值，在求 2tanα 加 tanβ 的最小值时，采用了求导的方式。
求导发现导函数的零点有两个，分别是 3 和...
求导也行，就是稍稍复杂一些。如果计算结果不错，x0 = 1/3 应该舍弃。因为 P(X0, y0) 系双曲线上第一象限的点，故 x0 >=1。余下与楼上同。
“根据这两个零点画出来的图像是一个两边趋向于负无穷和正无穷的图像”之语，没看明白。
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午山 发表于 2024-04-24 21:26明白了，是我思考错误了。 非常感谢您的解答！
还有一道解析几何与三角函数复合的小题。
在这道题中，我已求出 tanα 与 tanβ 之积为定值，在求 2tanα 加 tanβ 的最小值时，采用了求导的方式。
求导发现导函数的零点有两个，分别是 3 和...
tanα * tanβ = 3，∴ 2tanα * tanβ = 6 为常数，∴ 2tanα = tanβ 时 2tanα + tanβ 最小；
故此时 x0 + 1 = 2x0 - 2，即 x0 = 3。
代入双曲线方程，得，y0 = 2 * sqrt6；
S = 1/2 * 2 * y0 = y0 = 2 * sqrt6
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yxiao_9015 发表于 2024-04-24 14:13另外这种人为生造的所谓“应用题”，就不要过分纠结什么“严谨性”了。事实上，如果所有“应用题”都能够直接进行严谨的数学推导，现代数学也就不需要什么公理化体系了。
譬如上面的上图中同是“三个圆两两相交的交点”，为什么要选 A、B、C，而不是选 A'、B'...
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明白了，是我思考错误了。 非常感谢您的解答！
还有一道解析几何与三角函数复合的小题。
在这道题中，我已求出 tanα 与 tanβ 之积为定值，在求 2tanα 加 tanβ 的最小值时，采用了求导的方式。
求导发现导函数的零点有两个，分别是 3 和 1/3。
根据这两个零点画出来的图像是一个两边趋向于负无穷和正无穷的图像，以至于我求不出最小值。
一道小题的两个填空之间应该是有关联的吧，但是我好像无法将 tanα 乘以 tanβ 为定值这一点同后面这个求 “2tanα加tanβ的最小值” 关联起来？ 还烦请您给我点拨一下这题的迷津。 谢谢！
午山 编辑于 2024-04-24 21:48
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午山 发表于 2024-04-23 21:22为什么这题中所求大圆即是三个圆心 ABC 组成三角形的外接圆呢？
不是三个圆心组成三角形的外接圆，而是三个圆两两相交的交点所组成的三角形的外接圆。
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yxiao_9015 发表于 2024-04-23 07:16如图，原题还原成三角形 ABC 的外接圆。显然，当三角形三条边分别为三个圆的直径时面积最大。
证明，考虑锐角三角形，用正弦定理：考虑最长边 c，c / sinC = 2R, 其中 R 为外接圆直径。则有 c 最大值为 2, C 最小值为 60°。
但...
为什么这题中所求大圆即是三个圆心 ABC 组成三角形的外接圆呢？
午山 编辑于 2024-04-23 21:26
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午山 发表于 2024-04-22 19:42好的，我接着再去尝试一下这题。 非常感谢您的指点！
一道 “不定圆” 的小题。
不太确定这三个圆的圆心连线所组成的三角形的外接圆是否是题中所要求的 “大圆” （主要是无法证明）。
但是可以猜测到这个大圆应该在 “圆心连线三角形” 为正三角形时取到。
...
如图，原题还原成三角形 ABC 的外接圆。显然，当三角形三条边分别为三个圆的直径时面积最大。
证明，考虑锐角三角形，用正弦定理：考虑最长边 c，c / sinC = 2R, 其中 R 为外接圆直径。则有 c 最大值为 2, C 最小值为 60°。
但证明 ABC 是锐角三角形可能啰嗦一点：考虑某个 C' > 90°, 证明必有 C < 90°……类似；或者分各种可能的情况讨论一下？
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yxiao_9015 发表于 2024-04-20 15:06这个可能不成立，我后来也发现了。因为当时又有了新问题，结果忘了说了。
事实上 452 楼的表达式已经用 bn “解出” b(n + 1) 的结果了，显然不太可能符合等比数列的预期。所以再用 b(n + 1) 反解 bn 没有意义。
出现这种情况是因为...
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好的，我接着再去尝试一下这题。 非常感谢您的指点！
一道 “不定圆” 的小题。
不太确定这三个圆的圆心连线所组成的三角形的外接圆是否是题中所要求的 “大圆” （主要是无法证明）。
但是可以猜测到这个大圆应该在 “圆心连线三角形” 为正三角形时取到。
但是接下来我就没有什么思路了，不知道您有没有什么好的想法？ 还麻烦请您指点一下 。 谢谢！
午山 编辑于 2024-04-22 19:52
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Trompette 发表于 2024-04-20 11:40觉得题意不清
如果不区分弧，那么只有 ABABCC 和 CCBABA 2种
如果区分弧（但不区分弧的方向），那么有 6x2 种（A,C点出发各6种）
如果区分弧且区分弧的方向，那么有 6x2x2 = 24 种（增加C弧的不同围绕方法）
按照您的提示，计算过后正确了
非常感谢您的指点！
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午山 发表于 2024-04-20 10:29还是上次那道数列小题。
根据您 “途径二” 的指点，我去对式子进行了代换、消元、展开，但始终只能得到一个最高次幂为 3/2 的方程，貌似得不到您描述的 “一个以 bn 为 已知量的关于 b(n + 1) 的一元二次方程”？
所以还麻烦请您再看一下我的...
事实上 452 楼的表达式已经用 bn “解出” b(n + 1) 的结果了，显然不太可能符合等比数列的预期。所以再用 b(n + 1) 反解 bn 没有意义。
出现这种情况是因为我之前编辑的内容因为系统的缘故丢失了，这个式子是后来根据回忆一个个局部重新恢复出来的，可能一些局部有变形，拼到一起竟然就简化了很多，但因为电脑排版不直观的关系，当时竟没有发现这一点。
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午山 发表于 2024-04-20 10:57这次还碰到一道概率的小题。
这道题目规定了画图的起点和终点，但是我觉得这个 “一笔画” 好像没有什么 “画图途径” 上的规律可循。
我自己画了一画，区分画圆的顺时针与逆时针，只能找出两种画法，比较疑惑， 还希望您能帮忙给我指点一下。 谢谢！
觉得题意不清
如果不区分弧，那么只有 ABABCC 和 CCBABA 2种
如果区分弧（但不区分弧的方向），那么有 6x2 种（A,C点出发各6种）
如果区分弧且区分弧的方向，那么有 6x2x2 = 24 种（增加C弧的不同围绕方法）
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yxiao_9015 发表于 2024-04-19 09:26右下角，最后一步，分子没问题，分母的 5 怎么来的？
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这次还碰到一道概率的小题。
这道题目规定了画图的起点和终点，但是我觉得这个 “一笔画” 好像没有什么 “画图途径” 上的规律可循。
我自己画了一画，区分画圆的顺时针与逆时针，只能找出两种画法，比较疑惑， 还希望您能帮忙给我指点一下。 谢谢！
午山 编辑于 2024-04-20 11:05
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